과도현상
R-L직렬회로
그림의 R-L직렬회로에서 전압 인가시 과도현상에 대해 다음 식을 유도하시오
1)전류식
- 라플라스 변환
\[ Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}=E \]
\[\frac{R}{L}i(t)+\frac{di(t)}{dt}=\frac{E}{L}\]
\[\frac{R}{L}sI(s)+s^2I(s)=\frac{E}{L}\]
\[I(s)=\frac{\frac{E}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\]
\[ \alpha_1=\lim_{s\to 0}s\frac{\frac{E}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}=\frac{E}{R} \]
\[\alpha_2=\lim_{s\to\frac{R}{L}}(s+\frac{R}{L})\frac{\frac{E}{L}}{s(s+\frac{R}{L})} =-\frac{E}{R}\]
\[I(s)=\frac{E}{R}(\frac{1}{s}+\frac{1}{s+\frac{R}{L}})\]
\[i(t)=\frac{E}{R}(e^0-e^{-\frac{R}{L}t})=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})\]
2)시정수
\[ \tan\theta=\frac{di(t)}{dt}|_{t=0}\]
\[=\frac{d}{dt} (\frac{E}{R} (1-e^{-\frac{R}{L}t}) )|_{t=0}\]
\[=-\frac{E}{R}(-\frac{R}{L})=\frac{E}{L} \]
\[ tan\theta =\tau=\frac{L}{R}\]
3)전압식
- 저항에 걸리는 전압
\[ E_R=Ri(t)=R\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}))|_{t=0} \]
\[=E(1-e^{-\frac{R}{L}t})[V]\]
- 인덕턴스에 걸리는 전압
\[ E_L=L\frac{dt(t)}{dt}=L\frac{d}{dt}(\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}))\]\[=Ee^{-\frac{R}{L}t}[V]\]
4)전력량식
\[ W_R=\int_0^t E_R(t)i(t)dt \]
\[=\int_0^t E(1-e^{-\frac{R}{L}t})\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})dt\]
\[=\frac{E^2}{R}t+\frac{E^2 L}{R^2}(2e^{-\frac{R}{L}t}-\frac{1}{2}e^{-\frac{2R}{L}t}-\frac{3}{2})\]
\[ W_L=\int_0^t E_L(t)i(t)dt\]
\[=\int_0^t Ee^{-\frac{R}{L}t}\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})dt\]
\[=\frac{E^2L}{R^2}(e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{1}{2}e^{-\frac{2R}{L}t}+\frac{1}{2})\]
\[ W=\int_0^t E(t)i(t)dt\]
\[=\int_0^t E\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})dt\]
\[=\frac{E^2}{R}t+\frac{E^2L}{R^2}(e^{-\frac{R}{L}t}-1)\]
- 인덕턴스에 저장되는 에너지
\[W_L=\int^∞_0E_L(t)i(t)dt\]
\[=\int^∞_0Ee^{-\frac{R}{L}t}\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})dt\]
\[=[\frac{E^2L}{R^2}(-e^{-\frac{R}{L}t}-\frac{1}{2}e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{1}{2})]^∞_0\]
\[=\frac{1}{2}LI^2[J]\]
R-C직렬회로
위의 그림과 같은 R-C직렬회로에서 t=0인 순간에 스위치를 닫는 경우 흐르는 전류(i), 시전수(τ), 저항에 걸리는 전압(V), 콘덴서에 충전되는 전압(V)을 구하시오. 단, 콘덴서에 초기전압은 없다.
1)전류식
- 라플라스 변환
\[ Ri(t)+\frac{1}{C}\int_0^t i(t)dt=E \]
\[i(t)+\frac{1}{RC}\int_0^t i(t)dt=\frac{E}{R}\]
\[sI(s)+\frac{1}{RC}I(s)=\frac{E}{R}\]
\[I(s)=\frac{\frac{E}{R}}{(s+\frac{1}{RC})}\]
\[i(t)=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}\]
2)시정수
\[ \tan\theta=\frac{di(t)}{dt}|_{t=0}\]
\[=\frac{d}{dt}\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t} |_{t=0}\]
\[=\frac{E}{R}(-\frac{1}{RC})=-\frac{E}{R^2C}\]
\[ \tan\theta=\tau=RC \]
3)전압식
- 저항에 걸리는 전압
\[ E_R=Ri(t)=R\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}=Ee^{-\frac{1}{RC}t}[V] \]
- 콘덴서에 충전되는 전압
\[ E_C=\frac{1}{C}\int_0^ti(t)dt \]
\[= \frac{1}{C}\int_0^t\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}dt\]
\[=E(1-e^{-\frac{1}{RC}t})[V]\]
4)전력량식
\[ W_R=\int_0^t E_R(t)i(t)dt \]
\[=\int_0^tEe^{-\frac{1}{RC}t}\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}dt\]
\[=\frac{1}{2}CE^2(1-e^{-\frac{2}{RC}t})\]
\[W_C=\int_0^t E_C(t)i(t)dt\]
\[=\int_0^tE(1-e^{-\frac{1}{RC}t})\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}dt\]
\[=E^2C(-e^{-\frac{1}{RC}t}+\frac{1}{2}e^{-\frac{2}{RC}t}+\frac{1}{2})\]
\[ W=\int_0^tE(t)i(t)\]\[=\int_0^tE\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}dt\]
\[=E^2C(1-e^{-\frac{1}{RC}t})\]
- 콘덴서에 저장되는 에너지
\[ W_C=\int_0^∞E_C(t)i(t)dt \]
\[=\int_0^∞E(1-e^{-\frac{1}{RC}t})\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}dt\]
\[=E^2C[-e^{-\frac{1}{RC}t}+\frac{1}{2}e^{-\frac{2}{RC}t}+\frac{1}{2}]_0^∞\]
\[=\frac{1}{2}CE^2\]
★전기이론의 해석B
순시값 평균값 실효값
교류 순시전력
최대전력전달
유도결합회로로
평형3상회로
비정현파 교류
공진현상
필터회로
과도현상